Shmuel Ashkenasi stammt gebürtig aus Tel Aviv, Israel. Er besuchte die Musikakademie Tel Aviv und feierte sein Bühnendebüt im Alter von acht Jahren. Nach seiner Ausbildung bei Ilona Feher ging er in die Vereinigten Staaten, um seine Studien dort bei Efrem Zimbalist am Curtis Institute of Music fortzusetzen.
Er erreichte die Erstplatzierung im Merriweather-Post-Wettbewerb, zählte zu den Finalisten im belgischen Queen-Elisabeth-Wettbewerb und wurde beim Internationalen Tschaikowsky-Wettbewerb in Moskau mit dem zweiten Preis geehrt. 1969 gründete er das berühmte Vermeer Quartett. Er spielte während des gesamten 39-jährigen Bestehens des Quartetts dessen erste Violine und machte sich einen Namen als einer der großen Kammermusiker weltweit.
Shmuel Ashkenasi tourte bereits zweimal durch die ehemalige Sowjetunion und hat zahlreiche Konzerte in Europa, Israel, im Fernen Osten sowie in den Vereinigten Staaten gegeben. Er kann auf Zusammenarbeiten mit Rudolf Serkin, Thomas Hampson, Murray Perahia, Peter Serkin und Menahem Pressler zurückblicken. Darüber hinaus trat er als Solist mit einer Vielzahl bekannter Orchester auf, darunter die Orchester von New York, Boston, Philadelphia, Chicago, Los Angeles, Berlin, London, Moskau und Tokio.
Im Jahr 2007 schloss er sich der Fakultät des Curtis Institute of Music an und unterrichtet außerdem am Bard College.
